Sirul Fibonacci si Proportia de Aur – partea 1
Numerele
lui Fibonacci sunt sistemul de numerotare al naturii. Le regasim peste
tot in natura, de la aranjamentele frunzelor in plante, la modelele
petalelor unor flori, la bracteele conului de brad sau solzii unui
ananas. Numerele lui Fibonacci sunt aplicabile in cresterea oricarui
lucru, inclusiv a unei singure celule, a semintei de grau, a fagurelui
de albina si chiar al umanitatii.
Proportia de Aur si Sectiunea de Aur – Dreptunghiul de aur -Spirala de Aur Golden Spiral
Proportia de Aur si Sectiunea de Aur
In
matematica si in arte, doua cantitati sunt in proportie de aur, daca
proportia dintre suma acestor cantitati si cea mai mare dintre cele doua
este aceeasi cu proportia dintre cea mare si ce mica.
Expresie algebrica:
Proportia de aur este deseori notata cu litera greceasca phi (Φ or φ).
Figura unei sectiuni de aur ilustreaza geometric relatia care defineste aceasta constanta. Proportia de aur este o constanta irationala matematica de aproximativ 1.6180339887.
Figura unei sectiuni de aur ilustreaza geometric relatia care defineste aceasta constanta. Proportia de aur este o constanta irationala matematica de aproximativ 1.6180339887.
Dreptunghiul de aur
Un dreptunghi de aur este un dreptunghi ale carui laturi sunt in proportie de aur, 1: j (unu-la-phi), aidica aproximativ 1:1.618.
Un dreptunghi de aur poate fi contruit cu un echer si un compas prin aceasta tehnica. |
- Construiti un simplu patrat
- Desenati o linie din mijlocul uneia dintre laturi catre unul dintre colturile opuse.
- Folositi acea linie ca raza pentru a desena un arc ce defineste inaltimea dreptunghiului.
- Inchideti dreptunghiul de aur.
Spirala de aur
In geometrir, o spirala de aur
este o spirala logaritmica al carei factor de crestere este “b” care
este relativ lui “j”, prin proportia de aur. Ca si caracteristica, o
spirala de aur devine din ce in ce mai deschisa (sau mai departata de
origine) printr-un factor “j”, pentru fiecare sfert de cerc de
intoarcere.
Punctele succesive care impart un dreptunghi de aur in patrate se afla pe spirala logaritmica ce este cunoscuta si sub numele de Spirala de Aur
Sursa Imaginii: http://mathworld.wolfram.com/GoldenRatio.html
Proportia de Aur in arhitectura si arta
Multi
arhitecti si artisti si-au proportionat operele pentru a aproxima
Proportia de Aur – in mod special in forma Dreptunghiului de Aur in care
proportia laturii lungi, fata de cea scurta, este Proportia de Aur –
crezand ca aceasta proportie este din punct de vedere estetic placuta. [Source: Wikipedia.org]
Iata cateva exemple:
Partenon, Acropola, Atena.
Acest templu antic se incadreaza aproape perfect intr-un dreptunghi de aur
Sursa: http://britton.disted.camosun.bc.ca/goldslide/jbgoldslide.htm
Omul Vitruvian (Omul in Actiune de by Leonardo Da Vinci
Putem desena multe linii de dreptunghiuri in aceasta figura.
Apoi, sunt trei seturi distincte de Dreptunghiuri de Aur: fiecare pentru zona capului, corpului si picioarelor
Sursa Imaginii >>
Omul
Vitruvian al lui Leonardo este confundat cateodata cu principiile
Dreptunghiului de Aur, totusi nu este cazul. Constructia Omului
Vitruvian se bazeaza pe desenarea unui cerc cu diametrul egal cu
diagonala patratului ridicandu-l in sus in asa fel incat sa atinga baza
patratului si desenand cercul final intre baza patratului si punctul de
mijloc dintre centrul patratului si centrul cercului care se misca:
Proportia de Aur in natura
Adolf
Zeising, ale carui interese principale au fost matematica si filosofia, a
descoperit ca proportia de aur este exprimata in aranjamentul crengilor
de-a lungul tulpinilor plantelor si a venaturilor de pe frunze. Si-a
extins cercetarile la scheletele animalelor si ramificarea venelor si
ale nervilor la proportiile compusilor chimici si geometria cristalelor
chiar pana la folosirea proportiilor in eforturile artistice. In aceste
fenomene a vazut Proportia de Aur operand ca o lege universala. Zeising
scria in 1854:
Proportia de Aur este o lege universala in care este continut principiul de baza al tuturor formelor ce cauta frumusetea si desavarsirea, atat in natura cat si in arta si care patrunde ca un ideal spiritual suprem toate structurile, formele si proportiile, fie ca e vorba despre cosmos sau individ, fie organic sau anorganic, acustic sau optic; care isi gaseste totusi realizarea ultima in forma umana.
Exemple:
O sectiune printr-o cochilie de Nautilus ne arata principiul constructiv al spiralei de aur.
NUMERELE LUI FIBONACCI
Despre Fibonacci
Fibonacci a fost cunoscut in timpul sau si inca este recunoscut si astazi ca cel mai mare matematician european al evului mediu. S-a nascut in 1170 si a murit in 1240, acum existand o statuie ce il comemoreaza la Leaning Tower de langa Catedrala din Pisa.
Numele sau complet a fost Leonardo din Pisa, pentru ca s-a nascut in Pisa. El si-a spus Fibonacci, care era o prescurtare de la “filius bonacci”, insemnanad fiul lui Bonacci, care era numele tatalui sau. tatal lui Leonardo ( Guglielmo Bonacci) era un fel de ofiter de vama in orasul Nord-African Bugia, acum denumit Bougie. Asa ca Fibonacci a crescut cu o educatie nord-africana si mai tarziu a calatorit mult in jurul coastei mediterane. Apoi s-a intalnit cu multi comercianti si a invatat sistemele lor de aritmetica. El si-a dat seama curand de multele avantaje ale sistemului indo-arabic asupra celorlalte. A fost unul dintre primii oameni care a introdus sistemul de numere indo-arabice in Europa – sistem pe care noi il folosim astazi bazat pe 10 cifre cu punctul sau zecimai si un simbol pentru zero: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. si 0.
Cartea sa despre cum sa calculezi aritmetic in sistemul zecimal, denumita Liber abbaci (insemnand Cartea Abacului sau cartea Calculelor) scrisa in 1202 a convins multi matematicieni europeni sa adopte noul sau sistem. Cartea merge in detaliu (in Latina) despre regulile pe care noi le invatam acum in scoala primara pentru adunarea, scaderea, inmultirea si impartirea numerelor impreuna cu o suita de probleme pentru a ilustra metoda in detaliu. ( http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#Rabbits )
Sirul Fibonacci si Proportia de Aur – partea 2
Sirul lui Fibonacci
Secventa in care fiecare numar este suma celor doua precedente este cunoscut sub numele de Sirul lui Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597,
2584, 4181, … (fiecare numar este suma precedentelor doua).
Raportul
perechilor succesive este asa numita sectiune de aur (SA) – 1.618033989 .
. . . . a carei reciproca este 0.618033989. . . . . deci avem 1/SA = 1
+ SA.
Sirul lui
Fibonacci generat de regula f1 = f2 = 1 , fn+1 = fn + fn-1, este foarte
bine cunoscut in multe zone diferite ale matematicii si stiintei.
Triunghiul lui Pascal si Sirul lui Fibonacci
Triunghiul
a fost studiat de catre B Pascal chiar daca acesta a fost descris cu
secole inainte de catre matematicianul chinez Yanghui (cu aproximativ
500 de ani mai devreme) si de catre astronomul poet, de origine persana,
Omar Khayyám.
Triunghiul lui Pascal este descris de catre urmatoarea formula:
unde este un coeficient binominal.
Diagonalele scurte ale triunghiului lui Pascal
insumeaza Numerele lui Fibonacci.
Este atat de uluitor ca numerele din Sirul lui Fibonacci apar ca model atat de frecvent, in natura (
flori, cochilii, plante, frunze, doar pentru a numi cateva) incat acest
fenomen pare sa fie principala “lege a naturii”. Sirul lui Fibonacci
apare in structurile biologice ca doua numere consecutive Fibonacci,
precum ramurile unui copac, aranjarea frunzelor pe o tulpina, solzii
unui ananas, bulbul unei anghinare si aranjamentul conului de brad. De
asemenea, numeroase incidente ale Sirului lui Fibonacci sau ale
sectiunii de aur, in natura, se regasesc in surse populare ca de pilda
reproducerea iepurilor, spiralele melcilor si curbele valurilor.
Numerele lui Fibonacci si pot gasi, de asemenea, in arborele genealogic
al albinelor.
Fibonacci si Natura
Plantele
nu stiu despre acest Sir – ele doar cresc in cel mai eficient mod. Multe
plante releva Sirul lui Fibonacci in aranjamentul frunzelor lor in
jurul tulpinei. Unele conuri de brad si de pin prezinta, de asemenea,
numerele la fel ca floarea soarelui sau margaretele. Floarea soarelui
poate contine numarul 89 sau chiar 144. Unele conifere prezinta aceste
numere in umflaturile de pe trunchiuri iar palmierii, in inelele de pe
trunchiuri.
De
ce se intampla aceste aranjamente? In cazul aranjamentelor frunzelor,
sau al filotaxiei, unele dintre ele pot fi legate de maximizarea
spatiului pentru fiecare frunza pentru a primi maximul de lumina
posibil. Chiar si un mic avantaj ar deveni dominant de-a lungul multor
generatii. In cazul unor frunze stranze laolalta, cum este cazul varzei,
aranjamentul corect poate fi crucial pentru rezolvarea necesitatilor
plantei.
Asadar,
natura nu incearca sa foloseasca Sirul lui Fibonacci: aceste numere
apar ca un produs secundar al unui proces fizic profund. De aceea,
spiralele sunt imperfecte. Planta raspunde la constrangerile fizice si
nu la o regula matematica.
Ideea
de baza este ca pozitia fiecarei noi cresteri este la aproximativ 222.5
grade distanta de cea anterioara, pentru ca produce in medie spatiul
maxim pentru toate cresterile. Acest unghi este denumit unghiul de aur si imparte complet cercul de 360 de grade in sectiuni de aur 0.618033989 . . . .
Exemple ale Sirului lui Fibonacci in Natura
Petalele florilor
Probabil
ca majoritatea dintre noi nu a avut timp sa examineze cu atentie numarul
petalelor unei flori. Daca am face-o, am descoperi ca numarul petalelor
unei flori ce inca are toate petalele intacte, pentru multe dintre
flori este un numar din seria lui Fibonacci. :
- 3 petale: crin, stanjenel
- 5 petale: piciorul cocosului, trandafirul salbatic, caldarusa
- 8 petale: delphiniums
- 13 petale: galbenele
- 21 petale: cicoare
- 34 petale: patlagina, piretru
- 55, 89 petale: margaretele Sf. Mihail si familia asteraceae
Cateva
specii sunt foarte precise in ceea ce priveste numarul petalelor – ca de
exemplu galbenelele, insa celelalte sunt foarte aproape de cele
enumerate mai sus, avand ca medie un numar din Sirul lui Fibonacci.
* Cititi articolul intreg aici:
http://britton.disted.camosun.bc.ca/fibslide/jbfibslide.htm
Modelele florale si numarele lui Fibonacci
De ce atat
de des, numarele petalelor unei flori, este unul dintre urmatoarele
numere: 3, 5, 8, 13, 21, 34 or 55? De exemplu, crinul are 3 petale,
trandafirul salbatic are 5, cicoarea are 21, margareta are deseori 34
sau 55 de petale, etc. Mai mult decat atat, daca va uitati la
inflorescenta florii soarelui, puteti observa doua serii de curbe, una
unduindu-se intr-un sens si una in celalalt; numarul spiralelor nefiind
acelasi in cele doua sensuri. De ce este numarul spiralelor in general,
ori de 21 si 34 ori 34 si 55, ori 55 si 89 ori 89 si 144? Acelasi lucru
este valabil pentru conurile de pin: de ce au ori 8 spirale pe o parte
si 13 pe cealalta, ori 5 spirale pe o parte si 3 pe cealalta? Apoi, de
ce este numarul diagoalelor unui ananas 8 intr-o directie si 13 in
cealalta?
Sunt toate numerele acestea produsul intamplarii? Nu! Toate apartin Sirului lui Fibonacci: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
etc. Un mod mai abstract de a o spune este ca numerele Fibonacci FN
sunt date de catre formula f1 = 1, f2 = 2, f3 = 3, f4 = 5 si, in mod
general, de f n+2 = fn+1 + fn . Mult timp s-a observat ca aceste numere
sunt importante in natura, insa doar relativ recent s-a si inteles de
ce. Este o problema de eficienta in timpul procesului de crestere al
plantelor.
Explicatia
este legata de un alt numar faimos, proportia de aur, care este in mod
profund legata de forma spiralei si de anumite tipuri de cochilii. Sa
mentionam de asemenea ca in cazul florii soarelui, a ananasului si a
conului de pin, corespondenta cu Numerele lui Fibonacci este foarte
exacta, pe cand in cazul numarului petalelor unei flori se verifica doar
in medie (si in anumite cazuri numarul este dublat deoarece petalele
sunt aranjate pe doua niveluri).
Sa subliniem, de asemenea, ca desi istoric Fibonacci a prezentat aceste numere in anul 1902, intr-o incercare de a prezenta modelul de crestere al populatiilor de iepuri, acestea nu corespund realitatii! Din contra, dupa cum am vazut, numarele lui joaca un rol fundamental in contextul cresterii plantelor.
O fapta buna de Craciun? Calendarul Noul Pamant 2013
O fapta buna de Craciun? Calendarul Noul Pamant 2013
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu
O zi plina-ochi de pace, va ureaza cristian_kinetoterapy.....si tot ceva doriti in viata.. Doresc ca fiecare sa poata posta liber cu conditia pastrari bunului simt si fara postari xenofobe si rasiste. Cu totii suntem copii Divinitatii.